2026年6月7日晚，数学科学学院团委青年中心第四届《瀚海之巅》项目组2026年第二次ToPiC活动——“复动力学中的分形结构与等分布现象”讲座在五教5104教室顺利举行。讲座从分形几何与复动力系统的基本概念出发，围绕朱利亚集经典对象，介绍由全纯映射迭代产生的分形结构，以及测度拉回（pullback of measures）、格林函数（Green function）和等分布现象（equidistribution）等相关内容，带领同学们走近复动力学的丰富图景。

在主持人胡洁洋同学简短的开场白后，主讲人沈乐天同学开始进行讲座。沈乐天同学首先指出，分形几何之所以特别，是因为“分形”本身并没有一个完全精确的统一定义，因此研究分形结构时，往往需要先说明它由怎样的数学机制产生。本次讲座中，他便将目光集中在复动力系统上，即通过全纯映射的不断迭代所产生的复杂几何结构。

讲座前半部分，沈乐天同学以复平面上的二次多项式族为例，展示了参数变化时朱利亚集呈现出的丰富形态，并由此引出正规族（normal family）、法图集、朱利亚集和填充朱利亚集（filled Julia set）等基本概念。他进一步介绍了法图集在映射和原像下的不变性，说明这些看似奇异的图形背后有着清晰的动力学规律。随后，主讲人谈到复动力系统中的重要问题——曼德勃罗集的局部连通性猜想，并结合临界点与填充朱利亚集的关系，介绍了判断参数所属区域的一些基本思想。

在具体例子部分，沈乐天同学重点分析了巴西利卡（Basilica）等经典图形。他从图形的尖顶、连通分支和轨道循环出发，解释局部结构如何在迭代作用下被不断放大、复制和组织起来，并通过坐标变换与迭代计算，展示了分形图像中可计算、可刻画的一面。随后，他又介绍了对称性拷贝等例子，使同学们进一步体会到复动力系统中图形直观与严密演算之间的联系。

讲座后半部分，主讲人将视角从具体朱利亚集推广到更整体的结构。他从收敛群作用（convergence group action）的极限集谈起，以Schottky群产生康托集（Cantor set）为例，说明分形结构也可以通过极限过程产生，并指出这类极限集与复动力系统中的法图集、朱利亚集之间存在深刻的对应关系。随后，沈乐天同学转向分析结构背后的测度理论，介绍了格林函数、测度拉回以及平衡测度（equilibrium measure）的构造思想：当不断取迭代原像并进行适当平均时，这些点会逐渐趋向某个自然的分布，这正是等分布现象在复动力学中的重要体现。讲座中，他还简要讨论了有理函数交换情形下可能出现的共同动力学结构，使同学们进一步感受到复动力系统中代数关系、几何图像与测度性质之间的联系。

在介绍高维情形时，沈乐天同学指出，低维中较为直观的测度方法在高维中需要进一步推广，需要借助作用在形式上的新工具来刻画格林函数和相关测度。他还简要介绍了高维复动力系统中的若干收敛结果，并分享了相关参考资料。讲座接近尾声时，同学们围绕一维与高维问题的发展、连续流系统的极限行为以及最大熵等问题与主讲人进行了交流讨论，现场气氛认真而活跃。

活动在晚上九点左右圆满结束。在本次讲座中，主讲人沈乐天同学准备充分，思路清晰，从直观的分形图像出发，逐步引向复动力系统、测度拉回和等分布现象等深层结构，将复杂抽象的数学对象与具体例子、图像直观和理论脉络相结合，带领同学们感受复动力学中丰富而精妙的结构。项目组成员认真做好前期准备与现场组织工作，保障了讲座的顺利进行；到场同学也认真听讲，积极思考，并与主讲人进行交流讨论，现场学术氛围浓厚。

本次讲座不仅加深了同学们对朱利亚集、法图集等经典对象的理解，也拓展了大家对复动力学前沿问题的认识。感谢学院团委和同学们的支持，感谢主讲人沈乐天同学的精彩分享，也期待同学们继续关注并参与《瀚海之巅》项目组后续活动。瀚海之巅项目组将继续努力，为同学们提供更多学习和交流的机会，推出更多更加精彩的ToPiC！

数学科学学院

撰稿人：程潘豪PB24010437