讲座题目：基于有限元方法的计算机数学证明 -- 从有限挑战无限
主讲人：刘雪峰 博士
时间：12月23日，24日，25日，26日，27日 上午9:45―12:15
地点：1518

主讲人简介：
刘雪峰 早稻田大学 理工学术院 次席研究员 (Junior researcher)
1998年～2003年 中国科学技术大学数学系
2004年～2009年 东京大学数理科学研究科，学习有限元方法等
2009年～至今 早稻田大学，从事微分算子的特征值精确估计等研究

课程概要：
本课程将阐述利用浮点小数来进行精确计算的方法以及其用于数学证明的框架和实现方法。课程中将详细讨论如何利用有限元方法来估计拉普拉斯算子的特征值，以及验证椭圆型非线性微分方程解的存在性和唯一性等。

本讲义从浮点小数的数值计算标准讲起，介绍如何利用区间计算来精确求解线性代数的基本问题，比如一次线性方程和矩阵特征值问题等。 进一步，讲述有限元方法的基本知识，及其在求解Poisson方程和拉普拉斯算子的特征值问题中的定性及定量的误差估计理论。 课程最后将简要介绍如何结合有限元方法和无误差计算来验证非线性微分方程问题的解的存在性，局部唯一性等。

课程目标：
选修此课程的同学需要使用Matlab来编写基本的程序。课程结束时，将能够设计完整的程序来对拉普拉斯算子的特征值作精确的计算。

课程内容及进度安排：

• 第一讲：浮点小数计算和无误查数值计算
o 无误差计算及数学证明的基本概念
o 科学浮点小数的计算标准IEEE754
o 区间计算及Matlab的区间计算程序库IntLab
o 精确求解线性方程组

• 第二讲：矩阵特征值问题
o 特征值的迭代计算方法
o 特征值的后验误差估计
o Lehmann-Goerisch定理
o 使用Matlab精确计算特征值

• 第三讲： 有限元方法
o Poisson方程及有限元方法
o 有限元数值解的误差估计 (Lax-Milgram定理, Aubin-Nitsue方法）
o 误差常数的估计
o 有限元的程序设计
• 第四讲：边值问题的奇异性
o 非凸区域边值问题的奇异性
o 混合有限元（Raviart-Thomas有限元）
o 可量化的前验误差估计
o 特征值估计的程序设计
• 第五讲：拉普拉斯算子的特征值估计及非线性问题
o 有限元方法的近似求解
o 赋范空间的下的Lehmann-Goerisch定理
o 非线性椭圆型微分方程, 不动点定理
o 数值方法证明解的存在性
o 结语（Open problem ）

主办单位： 中国科学技术大学数学科学学院 
         中国科学技术大学研究生院
         国家数学与交叉科学中心合肥分中心
         

欢迎感兴趣的师生参加！