10月12日下午，国际数学联盟副主席、香港大学讲座教授何旭华做客北斗讲坛，作题为“全正性与高维闭球——组合、几何与表示论的交汇”的学术报告。何旭华也是新基石研究员、香港科学院院士和香港数学会理事长，长期从事算术几何、代数群与表示论等领域的研究，取得了多项重要成果。本次报告围绕全正性理论及其背后的高维拓扑问题展开，带领师生领略了不同数学分支相互交融的独特魅力。讲坛由数学科学学院执行院长黄文主持。

何旭华教授以正数概念为切入点，引出一个看似简单却蕴含深刻数学结构的问题：对于矩阵乃至更一般的数学对象，应当如何理解“正性”？他介绍了全正矩阵的基本概念，即所有子式均为正的可逆矩阵，并阐述了这一条件所体现的特殊刚性。随后，他回顾了全正性理论的发展历程。20世纪上半叶，数学家开始系统研究全正矩阵；1994年，Lusztig将全正性的概念推广至更一般的李群及其旗流形，揭示了这一理论与组合数学、几何及表示论之间的深刻联系。此后，全正性逐渐发展为现代数学中的重要研究方向，并在丛代数、高阶Teichmüller理论及数学物理等领域展现出广泛的应用价值。

随后，何旭华将报告的重点引向全正性理论中的一个核心问题：由全正性条件定义的几何空间，在拓扑意义上是否具有高维闭球的结构？他指出，尽管这一问题的表述十分直观，但要从数学上严格证明却极具挑战性。研究者不仅需要确定相关空间的整体拓扑结构，还必须深入理解其边界的组成方式，以及不同边界部分之间复杂的拼接关系。这一问题与Björner于1984年提出的组合拓扑问题，以及后来Fomin和Shapiro提出的相关猜想紧密联系，吸引了数学界数十年的持续关注。看似简单的几何直观背后，实际上蕴含着丰富而深刻的组合与拓扑结构。

在报告的核心部分，何旭华介绍了他与合作者鲍焕晨、谢凯涛在解决上述问题方面取得的重要研究成果。经过长期探索，他们最终成功解决了这一系列具有深远意义的数学问题。何旭华特别强调，这一突破并非依赖某一单独数学分支中的技术，而是综合运用了组合数学、几何、表示论和拓扑学中的深刻思想。尤其值得关注的是，研究过程中还运用了著名的广义庞加莱猜想所涉及的拓扑学成果，将抽象的代数与组合结构同高维空间的整体拓扑性质联系起来。这一研究不仅回应了全正性理论中长期存在的重要问题，也生动体现了现代数学不同领域之间相互启发、彼此促进的研究特色。

报告围绕低阶矩阵与直观几何图形展开，由浅入深地呈现了从初等正性概念到高维拓扑结构的思想发展过程，使这一涉及多个数学领域的前沿问题更易于理解。通过对相关问题历史背景、研究难点及解决思路的系统梳理，师生们得以进一步认识全正性理论的丰富内涵，以及组合结构、代数表示与几何拓扑之间的深层联系。

此次报告拓宽并深化了师生们对全正性理论及高维拓扑研究前沿进展的认知，何旭华教授从直观实例切入、层层深入，激发了大家探索基础数学前沿问题的兴趣，也为不同研究方向之间的学术交流与思想碰撞提供了良好契机。

数学科学学院

撰稿人：蒋泽豪 SA25001029