课程题目：Poisson几何简介

授课人：刘张炬（北京大学、河南大学）

授课时间地点：

5月10日晚上 19:30-21:30 教室：5207

5月12日下午 16:00-18:00 教室：5107

课程摘要：Poisson几何是现代微分几何学的一个分支，起源于分析力学。历史上Poisson(1781-1840)为了研究经典力学系统的守恒定律，在可观测量代数上引进了一个双线性的括号运算，后人称之为Poisson括号。经典可观测量代数同时具有交换代数和李代数结构，也称为Poisson代数。Poisson几何就是研究微分流形上光滑函数的Poisson括号所蕴涵的局部及整体的几何与拓扑结构。Poisson括号由一个2-阶反对称的反变张量场（Poisson张量）唯一确定。Poisson几何可以视为辛几何的一个分支：一方面Poisson流形可以分解成辛叶的并集而具有叶状结构，另一方面可积的Poisson流形有一个辛实现，成为辛群胚的一个Lagrange子流形。Poisson几何也可以视为非线性的李理论,因为李代数的对偶空间上有自然的线性Poisson结构，其辛叶就是余伴随轨道，表示论中的轨道方法就是通过该Poisson结构的几何量子化来实现的。李双代数是Poisson李群的无穷小量，也是量子群的经典极限，在经典可积系统以及经典杨-巴克斯方程等理论中有重要应用。

Poisson几何在众多数学家和物理学家的推动下有迅速的发展。下面所列的几项工作在Poisson几何的不同发展阶段起了重要的推动作用:20世纪七八十年代，Lichnerowicz 首次给出了Poisson流形的严格定义，并研究了Poisson上同调理论；Weinstein 研究了Poisson流形的局部结构，并且讨论了局部辛实现和线性化等问题；另外，1976年Kirillov引进了局部李代数（Jacobi流形）的概念，Poisson流形和共形辛流形都是Jacobi流形的特例。20世纪八九十年代，Drinfeld 等人开创并发展了Poisson李群的理论；Kontsevich 解决了Poisson几何的中的一个重要猜测，即任何Poisson流形都可以形变量子化。值得指出的是，此两人分别于1990年和1998年获得了菲尔兹奖，他们在Poisson几何方面的工作也是获奖的重要原因之一。李双代数胚和Courant代数胚的理论是21世纪以来Poisson几何中活跃的研究课题，由此发现了Poisson几何与高阶结构之间的密切联系，并且促成了广义复几何的产生与发展。

参考书目

Crainic M., Fernandes R. and  Marcut I. {\em Lectures on Poisson Geometry},

Graduate Studies in Math. 217, American Mathematical Society 2021.