2024年3月修订
数学学科在读硕士生需通过博士资格考试、面试、选定导师，才可转为博士研究生。
博士资格考试需在入学二年内通过。
博士资格考试按基础数学、数学物理、应用数学、运筹学与控制论、计算数学、生物数学、概率论七个研究方向命题，学生根据所学专业和导师要求，至少通过两个科目的考试。
考试要求：
基础数学：分析学、代数学、几何学，三选二；
数学物理：分析学、代数学、几何学，三选二；
应用数学：组合图论+（分析学、代数学、数值计算、应用数学综合，四选一）；
运筹学与控制论：应用数学综合+（分析学、代数学、几何学、数值计算，四选一）；
计算数学：《数值计算》+《数值计算-2》
（在经得导师的同意下，《数值计算-2》可替换为《应用数学综合》、《分析学》、《代数学》、《几何学》之一）
生物数学：分析学+（代数学、几何学、数值计算、应用数学综合，四选一）；
概率论：现代概率论基础+分析学
备注：博士生资格考试科目的要求、范围等，详见数学学院博士资格考试介绍。
考试时间：
在每个学期开学的第三周或第四周周末举行博士生资格考试，每门课程考试时间为3小时。
博士资格考试：分析学
主要参考书籍:
[1]．G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techeniques and Their Applications, 2nd ed., John Wiley & Sons, Inc., 1999;
[2]．E. Lieb and M. Loss, 分析学（第二版），高等教育出版社，2006;
[3]．W. Rudin, 实分析与复分析，机械工业出版社，2004;
[4]．L. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill Companies, Inc., 1979。
考试要点:
分析部分”主要考察研究生的“大分析”基础。问题涉及实分析、复分析和泛函分析的基本概念和方法。具体地：
实分析：欧氏空间上的Lebesgue积分理论（含绝对连续函数和有界变差函数），抽象测度论和积分论（含Radon测度和Riesz 表示定理）。
复分析：单变量解析函数论的标准内容（含调和函数）。
泛函分析：赋范线性空间，Hilbert空间，线性泛函。重点是Banach 空间三大定理（Hahn-Banach定理，开映射定理和闭图像定理，一致有界定理）。
博士资格考试：代数学
主要参考书籍:
[1]．冯克勤, 李尚志, 查建国, 章璞编著, 近世代数引论, 中国科学技术大学出版社；
[2]．Serge Lang, Algebra, revised 3rd edition, GTM 211, Springer。
考试要点:
1．群论: [1]中第一章所有内容, 或者参考[2], 第I章, 具体内容包括: 半群和群的定义、子群和陪集分解(拉格朗日定理)、循环群、正规子群和商群、群同态基本定理、置换群、单群、群在集合上的作用、Sylow定理、有限生成阿贝尔群结构定理、小阶群的结构；
2．环和域: [1]中第二章, 或者参考[2], 第II, IV和V章. 具体内容包括: 环的定义, 例子和性质, 矩阵环；理想, 商环, 同态(同构)基本定理；素理想和极大理想，中国剩余定理；UFD, PID和ED；多项式环, 欧式算法, 高斯引理和Eisenstein判别法；域的扩张, 代数扩张与超越扩张；有限域理论；
3．伽罗瓦理论: [1]中第三章, 或者参考[2], 第VI章. 具体内容包括: 分裂域；可分扩张与正规扩张；伽罗瓦理论基本定理；
4．模论: [2]第III, XVI章. 具体内容包括: 模的定义, 子模和商模, 模同态, 直和和直积, 自由模([2] III.1-4)；有限生成模, 主理想整环上的有限生成模的结构定理([2] III.7)；正合列和蛇形引理([2] III.9)；张量积模([2] XVI.1-2)。
博士资格考试：微分流形与代数拓扑
微分流形：
主要参考书籍:
1．陈维桓，《微分流形初步》的前七章，第二版，高等教育出版社，2001；
2．陈省身，陈维桓，《微分几何讲义》的前六章，第二版，北京大学出版社，2001。
考试要点:
1．微分流形的定义，光滑映射，切向量，切空间；
2．张量，外微分算子；
3．单位分解定理，流形上的积分，Stokes定理；
4．单参数变换群，Frobenius定理；
5．李群，李代数，结构方程；
6．向量丛及向量丛上的联络；
7．黎曼流形简介，曲面的曲率。
代数拓扑：
主要参考书籍:
[1]．Armstrong, 基础拓扑学，北京大学出版社；
[2]．Bott and Tu, Differential forms in algebraic topology, GTM 82。
考试要点:
1．连续映射、紧致性、连通性；
2．单纯形、复形；
3．基本群，Van Kampen 定理，曲面分类定理；
4．复迭空间、万有复迭空间；
5．单纯同调、简单同调群的计算；（以上部分参看[1]中相关章节）
6．de Rham 复形和上同调，Poincare对偶。
（[2]，第一章、一到五节）
博士资格考试：数值计算
《数值计算》试卷由两部分组成。
第一部分数学基础是必答题。包括《偏微分方程数值方法》、《数值代数》和《数值分析》，满分分别是30分、20分和20分，共70分。
第二部分专业基础，根据专业方向的现状和招生导师的要求，提供了5个模块：《有限元方法》、《样条函数》、《小波分析》、《统计机器学习理论》和《计算机算法理论》。考生只能选做其中一个模块。满分30分。
数学基础之一：《偏微分方程数值方法》（30分）
参考教材
1. Numerical Partial Differential Equations (finite difference methods), J.W. Thomas, 1998, Springer。
2. Time Dependent Problem and Difference Methods, B. Gustafsson, H. Kreiss and J. Oliger, John Wiley & Sons, 1995。
考查内容
偏微分方程数值方法的基本理论与应用。
数学基础之二：《数值代数》（20分）
参考教材
1. Numerical Analysis (Third Edition), David Kincaid, Ward Cheney著。（或中译版：数值分析，王国荣、俞耀明、徐兆亮译，机械工业出版社，2005年）（第1至5章）
2. 数值线性代数（第2版），徐树方、高立、张平文，北京大学出版社。
考查内容
非线性方程和线性方程组的数值求解理论，矩阵特征值及奇异值分解，最小二乘问题。
数学基础之三：《数值分析》（20分）
参考教材
1. Numerical Analysis (Third Edition), David Kincaid, Ward Cheney著。（或中译版：数值分析，王国荣、俞耀明、徐兆亮译，机械工业出版社，2005年）（第6至8章）
考查内容
多项式插值和逼近理论，数值微分和积分，常微分方程（组）的数值解。
以下专业基础科目5选1（30分）：
专业基础之一：《有限元方法》
参考教材
1. 有限元方法的数学基础，王烈衡、许学军，科学出版社，2004。
考查内容
有限元方法，包括椭圆问题的变分形式，有限元空间的构造，插值误差理论及有限元的误差估计。
专业基础之二：《样条函数》
参考教材
1. Spline Functions: Basis Theory, L.L. Schumaker, Cambridge University Press, 2007. （第4, 5, 6, 7章）
考查内容
单变量样条函数的性质、计算与逼近理论。
专业基础之三：《小波分析》
参考教材
1. 小波分析基础：从理论到应用，李新，科学出版社。
考查内容
傅里叶级数，傅里叶变换，小波变换，多分辨率分析，Daubechies小波，提升小波，傅里叶和小波变换的应用。
专业基础之四：《统计机器学习理论》
参考教材
1. Pattern Recognition and Machine Learning, Trevor Hastie, Robert Tibshirani, Jerome Friedman，出版社：Springer Series in Statistics。
考查内容
线性回归，逻辑回归，支持向量机，混合模型与EM算法，正则化和模型选择，主成分分析，决策树，神经网络。
专业基础之五：《计算机算法理论》
参考教材
1. Introduction to Algorithms（第三版）, Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest and Clifford Stein，出版社：The MIT Press。
考查内容
各种排序算法，分治法，哈希表，二叉搜索树，红黑树，动态规划，贪心算法，各种图算法，字符串匹配，算法复杂度分析。
博士资格考试：应用数学综合
考试大纲
“应用数学综合”试卷由两部分组成。
第一部分数学基础是必答题。包括《偏微分方程》和《泛函分析》，满分分别是30分和40分。
第二部分专业基础，根据专业方向的现状和招生导师的要求（选择模块需与招生导师的方向一致），提供了5个模块：《最优化理论与算法》、《大规模科学计算》、《高精度算法》、《计算机辅助几何设计》、《计算机图形学》。考生只能选做其中一个模块。满分30分。
数学基础之一：《偏微分方程》（30分）
参考教材
1. 陈祖墀，《偏微分方程》（第三版），高等教育出版社，2008.
考查内容
偏微分方程的古典理论研究来源于物理与几何问题的三类经典线性偏微分方程，即热传导方程、振动方程，以及位势方程；这些方程在物理、力学生物、几何和化学等学科中有着广泛的应用，本部分注重考查学生对偏微分方程古典概念与理论的理解，以及古典求解方法的掌握。
主要考查内容为：一阶拟线性方程、二阶半线性方程的分类与标准型、波动方程热初值问题与初边值问题的求解与解的存在唯一性、传导方程的初值问题与初边值问题的求解与解的存在唯一性、位势方程边值问题的求解与解的存在唯一性、广义函数与基本解。
数学基础之二：《泛函分析》（40分）
参考教材
1. 张恭庆，林源渠，《泛函分析讲义(上)》, 北京大学出版社, 2001
考查内容
主要考查：
一、度量空间
1. 压缩映像原理及应用，列紧集
2. 线性赋范空间与Banach空间
3. 内积空间与Hilbert空间，正交与正交基，最佳逼近问题及应用
二、线性算子与线性泛函
1. 线性算子及线性泛函定义，连续性，有界性，闭算子
2. Riesz表现定理及其应用
3. 开映射定理，Banach逆算子定理；闭图像定理，范数等价定理，共鸣定理
4. Hahn-Banach定理
5. 共轭空间表示及应用；第二共轭空间与自反性；共轭算子
以下专业基础科目5选1（30分）：
专业基础之一：《最优化理论与算法》
参考教材
1. 杨周旺，《运筹学讲义》，2012年9月，可从下述地址下载：
http://staff.ustc.edu.cn/~yangzw/data/course/ORnotes2012_NLP.pdf
考查内容
a) 线性规划及其对偶理论；
b) 最优性条件，特别是Kuhn-Tucker条件；
c) 下降算法的迭代模式（一维搜索或信赖域方法）及其全局收敛性；
d) 各种搜索方向（如拟牛顿、共轭梯度等）的构造原理；
e) 约束最优化问题的序贯二次规划法和内点法。
专业基础之二：《大规模科学计算》
参考教材
1. Numerical Methods for Conservation Laws：From Analysis to Algorithms，JAN S. HESTHAVEN，EPFL，Lausanne, Switzerland。
2. 计算流体力学教程，张德良，高等教育出版社。
考查内容
基于流体力学、材料力学等问题的偏微分方程（组）的基本性质，其定解问题的的数值方法设计、理论分析与数值研究。
专业基础之三：《高精度算法》
参考教材
1. Randall J. LeVeque, Numerical Methods for Conservation Laws, Lectures in Mathematics, ETH-Zurich Birkhauser-Verlag, Basel, 1990.
2. C.-W. Shu, Discontinuous Galerkin methods: general approach and stability , Numerical Solutions of Partial Differential Equations, S. Bertoluzza, S. Falletta, G. Russo and C.-W. Shu, Advanced Courses in Mathematics CRM Barcelona, Birkhauser, Basel, 2009, pp.149-201.
考查内容
双曲型守恒定律方程的基本性质，有限体积方法、间断有限元方法、高精度WENO方法的基本算法和理论分析。
专业基础之四：《计算机辅助几何设计》
参考教材
1. 1. J. Hoschek, D. Lasser, Fundamentals of Computer Aided Geometric Design, A. K. Peters, 1996
2. 2. G. Farin, Curves and Surfaces for CAGD, 5th Edition, Morgan Kaufmann, 2001.
考查内容
计算机辅助几何设计是在计算机环境中曲线与曲面的表示、逼近分析等，它在造船、飞机、汽车、机械、建筑等广泛应用领域中的几何外形设计中具有重大的基础地位。本模块主要考查内容为：Bézier曲线，B样条曲线，几何样条曲线，Bézier曲面，B样条曲面，几何样条曲面，Coons曲面，隐式曲线与曲面，Offset曲线与曲面，散乱数据插值，以及几何造型中对曲线、曲面的基本要求等。
专业基础之五：《计算机图形学》
参考教材
1. E. Angel. “Interactive Computer Graphics ― A top-down approach using OpenGL”. 6th Ed., 2011，有中译版.。
考查内容
1)计算机图形学基础知识：相关硬件和软件知识；
2)图形显示算法基础：直线、圆弧及其他规则曲线的生成算法；
3)图形变换方法：包括视点变换、世界坐标变换、局部坐标变换等各种矩阵变换方法；
4)图形处理算法：包括二、三维图形裁剪算法、光栅图形的扫描转换与区域填充等；
5)三维立体的表示方法：包括多边形表示、网格表示法、扫描表示法等；
6)图形数据结构：包括八叉树表示法、翼边结构及半边结构表示法等；
7)消隐处理：包括多面体、曲面模型的消隐方法和技术；
8)真实感图形：包括光照模型、光线跟踪算法、辐射度算法、纹理映射等。
《数值计算》 | 《应用数学综合》 | ||
1. 数学基础科目（必答）（70分） | 1. 数学基础科目（必答）（70分） | ||
1.1 | 偏微分方程数值方法（30分） | 1.1 | 偏微分方程（30分） |
1.2 | 数值代数（20分） | 1.2 | 泛函分析（40分） |
1.3 | 数值分析（20分） |
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2. 以下专业基础科目5选1（30分）： | 2. 以下专业基础科目5选1（30分）： | ||
2.1 | 有限元方法 | 2.1 | 最优化理论与算法 |
2.2 | 样条函数 | 2.2 | 大规模科学计算 |
2.3 | 小波分析 | 2.3 | 高精度算法 |
2.4 | 统计机器学习理论 | 2.4 | 计算机辅助几何设计 |
2.5 | 计算机算法理论 | 2.5 | 计算机图形学 |
组合与图论博士资格考试大纲
组合数学：
考试内容：几类基本计数问题，生成函数，递推关系，容斥原理和反演公式，Pólya计数定理，非负矩阵与（0,1）矩阵的组合性质，集系的极值问题，平衡不完全区组设计和对称区组设计.
参考书：
潘永亮, 徐俊明，组合数学. 科学出版社，北京，2006年5月.
邵嘉裕，组合数学. 同济大学出版社，上海，1991年.
图论：
考试内容：图的基本概念、直径、邻接矩阵和关联矩阵、Euler 回、Hamilton圈；树与图空间；平图与平面图；网络流与连通度；匹配与独立集；染色理论.
参考书：
徐俊明，《图论及其应用》（第三版）. 合肥: 中国科学技术大学出版社, 2010.
现代概率论基础：包含测度论和随机过程
主要参考书籍：
[1] 严加安，《测度论讲义》（第二版）的前4章和第7、8章，科学出版社，2004；
[2] 陈木法，毛永华,《随机过程导论》的第4、5、6章，高等教育出版社，2007；
[3] B. Oksendal, Stochastic differential equations(6th ed.), 前5章和第7章，Springer-Verlag, 2005。
考试要点：
1. 测度论：测度的定义、单调类方法、可测函数序列的几种收敛、符号测度的Jordan-Hahn 分解，测度的Lebesgue 分解及Randon-Nikodym 定理、乘积测度的Fubini 定理、独立性、条件 数学期望；
2. 马氏过程：马氏性的定义、强马氏性、Feller 性、平稳分布；
3. 鞅：Doob停止定理、鞅的基本不等式和收敛定理；
4. 布朗运动：布朗运动的定义、轨道性质、鞅性质；
5. Itô 公式和简单的随机微分方程。
