题目：Counting solutions modulo p of equations: a success of étale cohomology still shrouded in mystery. (Compter les solutions modulo p d'équations : un succès de la cohomologie étale encore nimbé de mystère.)

报告人：Fabrice ORGOGOZO, Centre national de la recherche scientifique（法国国家科学研究中心）

时间：5月21日, 16：00

地点：东区第五教学楼5406

摘要：Consider a single-variable polynomial with integer coefficients. According to Kronecker (1880), for a varying prime p, the average number of roots modulo p, counted with multiplicity, is equal to its number of irreducible factors over ℚ.

    What might be the analogue of this result in higher dimensions, that is, for the solutions modulo p of a system X of polynomial equations in several variables? We present a possible answer to this question provided by Jean-Pierre Serre, explaining along the way why it is natural to regard #X(𝔽₁) as the Euler-Poincaré characteristic χ(X(ℂ)).With the essential ingredients in place, we will state two famous open problems dating back to Grothendieck’s definition of ℓ-adic étale cohomology and briefly discuss recent advances on a related topic.

    Considérons un polynôme en une variable à coefficients entiers.D'après Kronecker (1880), pour p premier variable, le nombre moyen de racines modulo p, comptées avec multiplicité, est égal à son nombre de facteurs irréductibles sur ℚ.

    Quel pourrait-être l'analogue de ce résultat en dimension supérieure, c'est-à-dire pour les solutions modulo p d'un système X d'équations polynomiales en plusieurs variables ? Nous présentons une réponse possible apportée par Jean-Pierre Serre à cette question, expliquant au passage pourquoi il est naturel de considérer que #X(𝔽₁) n'est autre que la caractéristique d'Euler-Poincaré χ(X(ℂ)) de l'espace topologique des solutions complexes. Les ingrédients essentiels étant en place, nous énoncerons deux fameux problèmes ouverts depuis la définition par Grothendieck de la cohomologie étale ℓ-adique et discuterons brièvement des travaux récents.