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代数与数论方向专业介绍

 

    本方向主要研究李理论、代数表示论及相关课题,具体地,研究扩张仿射李代数的顶点表示、非有限分次李代数的伪有限表示和李双代数结构及其量子化、典型李超代数及其量子化的表示,特别是酉表示、代数的导出范畴和相关的三角范畴、Hopf代数和量子化代数的结构、表示理论以及分类问题等。
  在李理论方面:扩张仿射李代数是近十多年来发展起来的新领域,我们对其结构和表示理论做了一系列工作,相关的论文发表在《J. Algebra》、《Advances in Mathematics》、《Israel J. Math.》、《Comm. Math. Phys.》和《Mem. Amer. Math. Soc》的专著上。自Kac于1970年代给出有限维单李超代数分类后,典型李超代数有限维表示的特征标、上同调、Kac-模的结构、无限维最高权酉表示等问题一直是数学物理学家们关注的问题。Serganova(1998年ICM的45分钟报告)和Brundan(2002年J. Amer. Math. Soc.)利用Kazhdan-Lusztig理论和量子群理论给出了gl(m|n)的特征标,但他们给出的只是递推公式。我们通过发展Brundan的理论,计算了gl(m|n)的Kazhdan-Lusztig多项式,进而给出了gl(m|n)的的有限维不可约表示的Kac-Weyl型的特征标公式、计算出上同调、Kac-模的合成因子等。这些结果发表在重要杂志《Advances in Mathematics》、《Porc. London Math. Soc.》、《Math. Z》等。在非有限分次李代数的伪有限表示方面,我们取得了一系列成果,发表在《Advances in Mathematics》、《Comm. Math. Phys.》、《Israel J. Math.》、《J. Algebra》、《J. Pure Appl. Algebra》、《Proc. Amer. Math. Soc.》等。相关论文已被他人引用60余篇次。在李双代数及其量子化方面,我们近期确定了一些非有限分次李代数的李双代数的结构,并通过对其量子化,构造了一些新的量子群。相关论文发表在《Comm. Algebra》,《Science in China》等。
  在代数表示论方面:代数的奇点范畴,Serre对偶问题和三角范畴的中心是当前最热门的研究课题,它们与代数的同调理论,Auslader-Reiten理论以及数学物理中的D-膜理论都有深刻的联系。另外,有限维pointed Hopf代数的分类问题是最近最受关注的问题之一,它分成有限维分次箭图Hopf代数的分类以及它们的分次上同调两大部分。导出范畴和三角范畴是由著名数学家Grothendieck和他的学生Verdier在1960年代提出的,后由Happel系统地应用到有限维代数表示论中,并得到了一系列深刻的结论。现在,导出范畴和三角范畴是表示论中最有力的工具之一。我们主要研究有限维代数的导出范畴以及其Auslander-Reiten理论, 研究代数的奇点范畴,代数的Gorenstein-投射模范畴,研究代数的导出维数,三角范畴的Serre对偶以及三角范畴的幂等可裂问题,三角范畴的中心和支撑集理论等。这一列的工作均受到该方向国际顶尖人物的认可,例如,最近由Happel、 Keller、 Reiten(后两位曾为ICM邀请报告人)合写的论文引用了我们关于奇点理论方面的结果。相关论文发表在《Manuscripta Mathematica》、《J. Algebra》、《Comm. Algebra》等。Hopf代数是由著名的拓扑学家Hopf在上世纪40年代提出的,后由多位著名的数学家,如Milnor, Moore、Sweedler等,对Hopf代数进行了系统的研究。由于Drinfeld的著名工作,Hopf代数在量子群以及Yang-Baxter方程理论中扮演着中心角色。 我们主要研究Hopf代数的箭图方法,对Monomial Hopf代数进行了完整分类,研究Hopf代数的余表示理论,对于Hopf代数的分类理论,提出了分次双代数上同调的理论,对于量子对称代数,我们证明了对偶定理,研究了Color Hopf代数和 Color Lie代数的同调理论。我们的工作有多次引用,例如,关于Monomial代数的研究,现已有他引11次;关于分次双代数上同调,美国数学家Mastnak等人在其两篇论文中多次引用。相关论文发表在《J. Pure Appl. Algebra》、《J. Algebra》、《Letters Mathematical Physics》、《Algebras and Representation Theory》、《Algebra Colloquium》等。

  本方向教授简介:

  宋光天教授:自2000年以来,共发表论文17篇,包括“Semigroup Forum”,“Comm. Alg.”、“Southeast Asian Bull. Math.”、“Acta Mathematica-English Series”等。宋光天教授培养了六位博士研究生,对完全正则半群和半完备环的K-群进行了深入而系统的研究并得到了一些重要的结果。

  苏育才教授:自2000年以来,共发表论文40余篇,包括“Adv. Math.”、“Israel J. Math.”、“Comm. Math. Phys.”、“Proc. London Math. Soc.”、“Math. Z”、“J. Algebra”等国际重要杂志。论文被他人引用60余篇次。苏育才教授已经培养了7位博士研究生,在国内外诸多国际会议上包括“纪念华罗庚九十诞辰国际数学会议”、“第二届东亚代数与组合论会议”、“第三届环太平洋数学会议”、“第四届国际表示论会议”上做邀请报告,并且参与主办了“第七届、第十届全国李代数学术会议”。苏育才教授主要贡献是对一般线性李超代数的有限维不可约表示的深刻研究,特别是解决了Kac提出的几个公开问题。

  郜云教授:自2000年以来,在国际一流杂志上发表论文十余篇,包括美国数学会专著(Memoirs of AMS)一本以及诸如“Math. Ann.”(被SCI他人引用9次)“Comm. Math. Phys.”(被SCI他人引用10次),“Compositio Math.”(被SCI他人引用10次),“Israel J. Math.”(被SCI他人引用2次),“Selecta Math.”, “J. Algebra”等重要杂志上。郜云教授在国内外诸多会议上包括美国数学会、加拿大数学会例会上做邀请报告。郜云教授主要贡献是对高维仿射李代数的结构与表示理论的深刻研究, 尤其是对几乎所有高维仿射李代数给出了完全分类。

  欧阳毅教授:自2000年以来,共发表论文8篇,包括将由Springer出版的专著《Theory of p-adic Galois Representations》。欧阳毅教授的主要贡献士是对p进Galois表示理论及其与Iwasawa理论的关系的深刻研究。

  叶郁副教授:德国洪堡学者,主要研究方向群与代数表示及其应用,同调与同伦理论,Hopf代数及量子化代数。自2002年以来,在“J.Algebra”、“Comm.Algebra”、“Algebra Colloquium”、“Science in China”等发表了10余篇论文,在“国际代数表示论”等国内外诸多国际会议上做邀请报告。

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