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非线性偏微分方程方向专业介绍

 

    偏微分方程是数学中重要的研究主题,在纯数学和应用数学的研究中占有中心地位。中国科学技术大学的偏微分方程的研究由于“文革”而中断10年后于1978年重新开始,当时的科研小组主要由沈尧天、陈祖墀和钱椿林三人组成。研究的范围主要是椭圆型方程和特征值问题,还涉及到发展方程。培养的研究生不少成为国内外成为著名学者,部分工作还获得了国家教委科技进步二等奖。
  偏微分方程方向目前在位的教师有:麻希南教授、宣本金副教授、赵立丰副教授。
  兼职教师有陈祖墀教授和庆杰教授。他们的主要研究领域和成果叙述如下。

  麻希南教授学术成绩:
  近年来,麻希南教授的主要研究领域为完全非线性椭圆方程和几何分析。取得了以下成果:
  第一方面与管鹏飞合作给出经典几何和椭圆方程中有长期历史的Christoffel-Minkowski 问题的一个充分条件。
  第二方面与N.Trudinger和汪徐家合作给出最优的质量运输问题当消费函数为非二次时它在满足一定条件下的内部正则性定理。
  第三方面与Caffarelli和管鹏飞合作给出一类完全非线性偏微分方程解的一般凸性准则,及与管鹏飞及林长寿给出经典几何中预定曲率方程的凸超曲面的存在性定理。
  第四方面研究非线性椭圆型偏微分方程解的几何性质,获得了各种最佳估计。

  宣本金副教授学术成绩:
  宣本金副教授主要从事非线性椭圆型方程解的存在与不存在性,广义Kadomtsev-Petviashvili方程解的存在与不存在性,变分法与变分理论,加权Hardy-Sobolev不等式和 Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式及其在具奇异系数的非线性椭圆型方程中的应用,发表或完成论文20余篇。主要成果如下:
  1.《变分法---理论与应用》,中国科学技术大学研究生教材,2006年8月出版。
  2. 关于奇异P-拉普拉斯方程的临界参数的研究 我们比较系统地研究了带有临界Sobolev指数和Hardy奇异位势项的P-拉普拉斯方程解的存在性与不存在性。首先,我们讨论了某些极限方程解在原点以及无穷远点的渐近行为;其次,利用这些渐近行为,我们构造适当的试验函数,仔细地讨论了方程中的非线性项(如超线性、渐近线性或临界增长等)和求解区域的空间维数对方程解的影响。
  3. 关于高维GKP方程的研究 我们广义Kadomtsev-Petviashvili方程在高维空间中的孤波解以及在有界区域的稳态解在不同增长条件下的存在性与不存在性、多重性研究,这一系列结果将前人关于广义Kadomtsev-Petviashvili方程在二维空间中的结果推广到高维情形,揭示出了该问题在二维空间与高维空间中的共性与区别,特别是空间维数(与方程其他参数)对方程解存在性的影响,从而大大地丰富了该问题的研究。

  赵立丰副教授学术成绩:
  赵立丰副教授的主要研究领域为调和分析及其在偏微分方程中的应用,主要集中在非线性色散波方程的整体适定性及散射。 在近几年对Hartree方程做了深入的研究,取得的主要成果如下:
  1,利用频率空间的单位分解,引入了一类新的函数空间,并对这个空间的性质进行研究。并在这个空间中研究了Schrodinger方程、复Ginzburg-Landau方程、Navier-Stokes方程的适定性。还利用这种空间研究了复Ginzburg-Landau方程和Navier-Stokes方程的正则性行为。这种空间的优点还在于它对于研究非线性项是指数型增长的方程的适定性非常适合。这种空间是我们引入的,并且已被其他的学者用来研究其他的问题。
  2.研究Hartree方程,得到了这个方程的适定性及散射结果。
我们的创新之处就在于非局部非线性项的处理,主要体现在以下几个方面:
  1)在研究非聚焦的 临界的方程(HNLS),初值为径向时,关键的一步是用Morawetz排除能量的聚积。由于非线性项的非局部性,这时的Morawetz估计比较复杂,用起来不是很方便,我们注意到Virial恒等式中由色散项出来的一项可以加以利用,来排除能量的聚积。这一项以前并没有被发掘出来,这是我们方法的独特之处。
  2),在研究一般初值的非聚焦的 临界的方程(HNLS)时,在证明能量在频率空间的聚集时,以前的双线性估计不足够,我们利用了非常精细的频率分解技术。我们还证明了频率局部化的Morawetz估计,由于非线性项是非局部的,这是非常复杂的。

  兼职教师:

  1. 陈祖墀教授的范围主要是椭圆型方程和特征值问题。他培养的研究生不少成为国内外成为著名学者。

  2. 庆杰教授于2007获得国家杰出青年基金(B类),他的主要研究领域为几何分析和广义相对论的数学理论。是国际上本领域的著名专家,每年在中国科大工作2-3月。

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