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数理方程课程组组织课程报告会

    2019年3月27日下午,数理方程课程组邀请到中国海洋大学常晋德老师,为我校正在学习数理方程课程的本科生和我校数理方程课程组教师,作题为《几何背景下的数学物理方程》的课程报告,课程报告由数理方程课程组组长宣本金副教授主持。

 
    常老师从求解数理方程的两个最基本方法,即分离变量法和积分变换法谈起,提出如何在几何背景下统一地理解这些方法及其背后的理论基础。报告中引用我校数学系首任系主任华罗庚教授、清华大学萧树铁,以及刚刚逝世的国际数学大师阿蒂亚有关数与形,以及几何背景的理解,强调对数理方程理论和方法作适当的几何化,引入函数空间以及函数空间上的距离、內积等概念,选择合适的坐标系即基函数,可以将函数空间中的任意函数都表示成坐标的形式,当函数空间具有可数基时,任意函数的坐标展开就是一个无穷级数形式,比如,对有限区间上的平方可积函数空间,三角函数系就是一组基函数,相应的坐标展开就是傅里叶级数展开;而当函数空间具有类似于实数集的不可数基时,任意函数的坐标展开就是一个含参数积分形式,比如,对无穷区间上的绝对可积和平方可积函数空间,含有单参数的三角函数系就是一组基函数,相应的坐标展开就是傅里叶积分形式,最终引出傅里叶变换的定义及其应用。类比于空间解析几何,选定了坐标系之后,空间的几何问题就转化为相应坐标的代数问题,选定合适的坐标系之后,函数空间上的偏微分方程问题,就转化为相应坐标的常微分方程问题。


 
    通过对比空间解析几何和函数空间的分解与叠加,常老师指出“坐标法”的实质就是将高维的问题,约化为一维问题,再加以解决;如果进一步地,将一维问题再降维,变成一个零维问题,即点态问题,即可得到微分方程的基本解和格林函数法。这样,常老师就将数理方程课程中看似互不相关的求解方法,纳入到“几何背景”这个统一的框架之中,提出统一的理解。

    报告后半程,常老师与在座学生和老师,展开热烈的讨论,有同学表示在这个“几何背景”下,加深了对数理方程课程内容的理解。

    3月27日下午,课程报告之前,常老师与我校数理方程课程组老师座谈,就数理方程课程教学过程中的问题和疑问,热烈交流,取得较好的相互学习和共同进步效果。

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