博士生资格考试方案 对　　象： 　　所有希望能继续在中国科大数学系读博士的科大数学系在读研究生。 考试课程： 　　1．分析学：包含实分析、复分析、泛函分析； 　　2．代数学：包含群环域、模论、部分交换代数等； 　　3．几何拓扑：包含微分流形、代数拓扑； 　　4．数值计算。 　　　　注：四门课程中选择两门（可全考）。 考试时间： 　　在每个学期开学的第三周，第四周周末举行博士生资格考试，每门课程考试时间为4小时。 规　　划： 　　1．两年内有四次机会，通过者取得读博士资格；不通过者不能读博，但可继续读硕士； 　　2．三年内必须通过资格考试且完成开题报告（口试）； 　　3．通过考试者可获得相应考试课程的学分。如需继续读博者，则要求修完必要的课程，达到学分要求，且各科平均成绩不得低于75分。 博士资格考试—分析学 主要参考书籍: 　　[1]．实分析与复分析(英文版•第3版)的前12章，McGraw-Hill图书出版公司出版，1987，Walter Rudin著； 　　[2]．简明复分析，北京大学出版社，1996，龚升著； 　　[3]．实变函数论，北京大学出版社， 2001年，周民强著； 　　[4]．泛函分析讲义（上册），北京大学出版社，1987 年，张恭庆，林源渠著； 考试要点: 　　1．抽象测度论和拓扑空间理论，局部紧空间上测度及 表示理论； 　　2．积分理论，导数理论； 　　3．线性赋范空间理论，Banach 空间三大定理； 　　4．Hilbert空间，用 Hilbert 空间理论叙述富里埃级数理论； 　　5．测度的绝对连续性及复的Riesz 表示定理，乘积空间测度 Fubini 定理； 　　6．全纯函数，调和函数，极大值原理； 博士资格考试—代数学 主要参考书籍: 　　[1]．冯克勤, 李尚志, 查建国, 章璞编著, 近世代数引论, 中国科学技术大学出版社； 　　[2]．Serge Lang, Algebra, revised 3rd edition, GTM 211, Springer。 考试要点: 　　1．群论: [1]中第一章所有内容, 或者参考[2], 第I章, 具体内容包括: 半群和群的定义、子群和陪集分解(拉格朗日定理)、循环群、 正规子群和商群、群同态基本定理、置换群、单群、群在集合上的作用、Sylow定理、有限生成阿贝尔群结构定理、小阶群的结构； 　　2．环和域: [1]中第二章, 或者参考[2], 第II, IV和V章. 具体内容包括: 环的定义, 例子和性质, 矩阵环；理想, 商环, 同态(同构)基本定理；素理想和极大理想，中国剩余定理；UFD, PID和ED；多项式环, 欧式算法, 高斯引理和Eisenstein判别法；域的扩张, 代数扩张与超越扩张；有限域理论； 　　3．伽罗瓦理论: [1]中第三章, 或者参考[2], 第VI章. 具体内容包括: 分裂域；可分扩张与正规扩张；伽罗瓦理论基本定理； 　　4．模论: [2]第III, XVI章. 具体内容包括: 模的定义, 子模和商模, 模同态, 直和和直积, 自由模([2] III.1-4)；有限生成模, 主理想整环上的有限生成模的结构定理([2] III.7)；正合列和蛇形引理([2] III.9)；张量积模([2] XVI.1-2)。 博士资格考试—微分流形与代数拓扑 微分流形： 主要参考书籍: 　　1．陈维桓，《微分流形初步》的前七章，第二版，高等教育出版社，2001； 　　2．陈省身，陈维桓，《微分几何讲义》的前六章，第二版，北京大学出版社，2001。 考试要点: 　　1．微分流形的定义，光滑映射，切向量，切空间； 　　2．张量，外微分算子； 　　3．单位分解定理，流形上的积分，Stokes定理； 　　4．单参数变换群，Frobenius定理； 　　5．李群，李代数，结构方程； 　　6．向量丛及向量丛上的联络； 　　7．黎曼流形简介，曲面的曲率。 代数拓扑： 主要参考书籍: 　　[1]．Armstrong, 基础拓扑学，北京大学出版社； 　　[2]．Bott and Tu, Differential forms in algebraic topology, GTM 82。 考试要点: 　　1．连续映射、紧致性、连通性； 　　2．单纯形、复形； 　　3．基本群，Van Kampen 定理，曲面分类定理； 　　4．复迭空间、万有复迭空间； 　　5．单纯同调、简单同调群的计算；（以上部分参看[1]中相关章节） 　　6．de Rham 复形和上同调，Poincare对偶。 　　　（[2]，第一章、一到五节） 博士资格考试—数值计算 主要参考书籍: 　　1．Numerical Analysis, D. Kincaid, W. Cheney, Wadsworth Group, 2002.第1到9章； 　　2．Time Dependent Problem and Difference Methods, B. Gustafsson, H. Kreiss and J. Oliger, John Wiley & Sons, 1995。第1到7章； 　　3．有限元方法的数学基础，王烈衡、许学军，科学出版社，2004。第1到6章； 　　4．Spline Functions: Basis Theory, L.L. Schumaker, Cambridge University Press, 2007. 第4, 5, 6, 7章； 　　5．Numerical Partial Differential Equations (finite difference methods), J.W. Thomas, 1998, Springer。 考试要点: 　　1．多项式插值和逼近理论，数值微分和积分，常微分方程（组）的数值解； 　　2．非线性方程和线性方程组的数值求解理论，矩阵特征值及奇异值分解，最小二乘问题； 　　3．单变量样条函数的性质、计算与逼近理论； 　　4．偏微分方程差分方法的基本理论与应用； 　　5．有限元方法：椭圆问题的变分形式，有限元空间的构造，插值误差理论及有限元的误差估计。     博士生资格考试方案     大规模科学与工种计算     动力系统     泛函分析     复分析     非线性偏微分方程     代数与数论     组合与图论     计算机辅助几何设计     数学物理